HASH GAME - Online Skill Game GET 300

　　哈希函数的设计很重要。一个不好的哈希函数，就是指造成很多冲突的情况，从前面的例子已经可以看出来，解决冲突会浪费掉大量时间，因此我们的目标就是尽力避免冲突。前面提到，在使用除余法的时候，h(k)=k mod p ，p 最好是一个大素数。这就是为了尽力避免冲突。为什么呢？假设 p=1000 ，则哈希函数分类的标准实际上就变成了按照末三位数分类，这样最多1000类，冲突会很多。一般地说，如果 p 的约数越多，那么冲突的几率就越大。

　　再次，当规模再大 （大约为 90%*P a P ）的时候，哈希表的效率大幅下降。这是因为冲突的次数大大提高了，为了解决冲突，程序不得不遍历一段都存储了元素的数组空间来寻找空位置。用白箱测试的方法统计，当规模为13500的时候，为了找空位置，线 的时候，平均竟然高达2000000 次运算，某些数据甚至能达到4265833次。显然浪费这么多次运算来解决冲突是不合算的，解决这个问题可以扩大表的规模，或者使用开散列（尽管它是动态数据结构）。然而需要指出的是，冲突是不可避免的。

　　首先，当规模比较小的时候（大约为a 10% * P，这个数据仅仅是通过若干数据估记出来的，没有严格证明，下同），第二种方法比哈希表快。这是由于，虽然每次计算哈希函数用O(1) 的时间，但是这个系数比较大。例如这道题的H(x)=x mod 15589 ，通过与做同样次数的加法相比较，测试发现系数 12 ，因为 mod 运算本身与快速排序的比较大小和交换元素运算相比，比较费时间。所以规模小的时候，O(N)（忽略冲突）的算法反而不如 O(NlogN)。这一点在更复杂的哈希函数上会体现的更明显，因为更复杂的函数系数会更大。

　　分析：看懂题目之后，对于给定的编码，只需要一个回溯的过程，所有可能的原字符串都可以被列举出来，剩下的就是检查这个字符串是否在给定的字典中了。所以这个问题需要的还是某个元素是否在已知集合中？由于给出的姓名都是字符串，因此我们可以利用字符的 ASCII 码。那么，如何设计这个哈希函数呢？注意到题目给出的字典中，最多能有5000 个不同元素，而一个字符的 ASCII 码只能有26 种不同的取值，因此至少需要用在3个位置上的字符（26^3 5000，但是 26^2 5000 ），于是我们就选取3个位置上的字符。由于给定的字符串的长度从 1--12 都有可能，为了容易实现，选取最开始的1个字符，和最末尾的2个字符。让这3个字符组成27进制的3位数，则这个数的值就是这个字符串的编码。这样哈希函数就设计出来了！

　　简单的证明：假设 p 是一个有较多约数的数，同时在数据中存在 q 满足 gcd(p,q)=d 1 ，即有 p=a*d , q=b*d, 则有 q mod p= q - p* [q div p] =q - p*[b div a] . ① 其中 [b div a ] 的取值范围是不会超过 [0，b] 的正整数。也就是说， [b div a] 的值只有 b1 种可能，而 p 是一个预先确定的数。因此 ① 式的值就只有 b1 种可能了。这样，虽然mod 运算之后的余数仍然在 [0，p-1] 内，但是它的取值仅限于 ① 可能取到的那些值。也就是说余数的分布变得不均匀了。容易看出， p 的约数越多，发生这种余数分布不均匀的情况就越频繁，冲突的几率越高。而素数的约数是最少的，因此我们选用大素数。记住素数是我们的得力助手。