HASH GAME - Online Skill Game GET 300

　　在该模型中，哈希表被拆分为一系列大小指数递减的子数组，例如 A₁、A₂、...、A_⌈log n⌉，其中 Aᵢ₊₁ = Aᵢ/2 ± 1。这种层次结构为非贪婪探测提供了可能，使得插入操作可以优先在负载较低的区域进行，同时保证查找过程的高效性。研究者引入了一个特定的映射 φ(i,j)，使得二维探测序列 hᵢ,ⱼ (x) 可以映射到一维探测序列 hφ(i,j)(x)，其中 φ(i,j) ≤ O(i·j²)。该映射的设计确保了在插入过程中，较早被访问的探测位置能够更高效地找到空槽，从而降低整体探测复杂度。

　　漏斗哈希的基本思想是在哈希表中引入多级结构，使得元素在不同负载水平的区域之间进行分层存储，从而降低高负载情况下的探测次数。具体而言，哈希表被划分为多个层级，每一层内部进一步分为若干个等大小的子数组，所有子数组的大小按几何级数递减。假设哈希表的总容量为 n，研究者首先将其划分为两部分，其中一部分（记为A_α+1）的大小约为 δn，用于存储最难插入的元素，而剩余部分（记为 A）再细分为 α 个子数组 A₁、A₂、...、Aα。这些子数组的大小递减关系满足 Aᵢ₊₁ ≈ 3Aᵢ/4，并且每个 Aᵢ 进一步划分为若干个小块，每个小块的大小设定为 β，其中 β 取 O(logδ⁻¹)。

　　首先，研究者证明了每个子数组在一定插入次数后都会达到接近饱和的状态，即子数组内部空槽的数量受严格控制。这意味着即使在较高负载的情况下，仍然可以保证大多数插入操作在 O(logδ⁻¹) 次探测内成功。其次，通过分析插入元素在不同层级上的分布，研究者证明了即使在最坏情况下，元素也只需经历 O(log²δ⁻¹) 次探测，即可找到一个可用的位置。此外，研究者还证明了这一界限的最优性，表明任何贪婪开放寻址哈希表都无法突破 Ω(log²δ⁻¹) 的最坏情况探测复杂度。